Существуют ли открытые реестры призывников на воинскую службу, доступные работодателям?  

Открытых реестров призывников, доступных для работодателей, не существует. Единственный способ получить информацию о военнообязанных сотрудниках - это ведение воинского учета в организации и подача соответствующих сведений в военкомат. 
 
Для передачи сведений о работниках в реестр воинского учета в электронном виде организации надо авторизоваться на сайте Реестра.
Типовая ситуация: Воинский учет: отчетность, сроки сдачи, ответственность (Издательство "Главная книга", 2025) {КонсультантПлюс}

Правовые нормы, регулирующие данную ситуацию:
Пункт 31 Положения о воинском учете, утвержденного постановлением Правительства РФ от 27.11.2006 № 719.
ст. 4 Федерального закона от 28.03.1998 № 53-ФЗ "О воинской обязанности и военной службе".
Пункт "а" подпункта 30 Положения о воинском учете, утвержденного постановлением Правительства РФ от 27.11.2006 № 719.